Die Ableitung ist eines der fundamentalsten Konzepte der Analysis. Sie beschreibt die momentane Änderungsrate einer Funktion – also wie schnell sich der Funktionswert an einer bestimmten Stelle ändert. In diesem Artikel lernst du alle wichtigen Ableitungsregeln.
Was ist die Ableitung?
Die Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ gibt die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt $x$ an. Geometrisch entspricht das der Steigung des Graphen an dieser Stelle.
Die wichtigsten Ableitungsregeln
1. Potenzregel
Die wichtigste Regel für Polynome:
Beispiele Potenzregel
$f(x) = x^3 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 3x^2$
$f(x) = x^5 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 5x^4$
$f(x) = x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 1$
$f(x) = x^{-2} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = -2x^{-3}$
2. Konstantenregel
3. Faktorregel
Beispiel Faktorregel
$f(x) = 5x^3$
$f'(x) = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2$
4. Summenregel
Beispiel Summenregel
$f(x) = x^3 + 4x^2 - 2x + 7$
$f'(x) = 3x^2 + 8x - 2$
5. Wichtige Ableitungen
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $x^n$ | $n \cdot x^{n-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ |
| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
Höhere Ableitungen
Du kannst eine Funktion mehrfach ableiten:
- $f'(x)$ - Erste Ableitung (Steigung)
- $f''(x)$ - Zweite Ableitung (Krümmung)
- $f'''(x)$ - Dritte Ableitung
Beispiel: Mehrfaches Ableiten
$f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x$
$f'(x) = 4x^3 - 6x + 2$
$f''(x) = 12x^2 - 6$
$f'''(x) = 24x$
Tipp für die Prüfung
Übe das Ableiten, bis es automatisch geht! In fast jeder Abituraufgabe musst du Ableitungen bilden – für Kurvendiskussion, Extremwertaufgaben und mehr.