Abstand Punkt Ebene berechnen | Hesse'sche Normalform

Der Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene ist eine häufige Aufgabe in der analytischen Geometrie. Mit der Hesse'schen Normalform geht das schnell und elegant.

Die Hesse'sche Normalform (HNF)

Die HNF ist eine spezielle Form der Ebenengleichung, bei der der Normalenvektor die Länge 1 hat:

$$\text{HNF: } \frac{ax + by + cz - d}{|\vec{n}|} = 0$$

mit $|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Abstandsformel

Um den Abstand eines Punktes $P(x_0, y_0, z_0)$ zur Ebene E: ax + by + cz = d zu berechnen:

$$d(P, E) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

Koordinaten einsetzen, Betrag bilden, durch $|\vec{n}|$ teilen

💡 Merke

Der Abstand ist immer positiv! Deshalb steht der Betrag im Zähler.

Schritt-für-Schritt

Ebene in Koordinatenform bringen: ax + by + cz = d
Betrag des Normalenvektors berechnen: $|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
Punkt in Ebenengleichung einsetzen: $ax_0 + by_0 + cz_0 - d$
Betrag nehmen und durch $|\vec{n}|$ teilen

📝 Beispiel

Berechne den Abstand von P(3, 1, 2) zur Ebene E: 2x + 2y + z = 10

1. Normalenvektor: $\vec{n} = (2, 2, 1)$

2. Betrag: $|\vec{n}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

3. Einsetzen: 2·3 + 2·1 + 1·2 - 10 = 6 + 2 + 2 - 10 = 0

4. Abstand: d = |0| / 3 = 0

Der Punkt liegt auf der Ebene!

📝 Beispiel 2

Abstand von P(1, 0, 4) zur Ebene E: x - 2y + 2z = 3

$\vec{n} = (1, -2, 2)$, $|\vec{n}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$

1·1 + (-2)·0 + 2·4 - 3 = 1 + 0 + 8 - 3 = 6

d = |6| / 3 = 2

Der Abstand beträgt 2 LE.

Sonderfall: Ebene in Parameterform

Wenn die Ebene in Parameterform gegeben ist, musst du sie erst umwandeln:

Normalenvektor berechnen: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$
Koordinatenform aufstellen: $\vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{p}$
Abstandsformel anwenden

Alternative: Lotfußpunkt

Du kannst den Abstand auch über den Lotfußpunkt berechnen:

Lotgerade durch P mit Richtung $\vec{n}$ aufstellen
Schnittpunkt L mit der Ebene berechnen
Abstand $d = |\overrightarrow{PL}|$ berechnen

⚠️ Häufige Fehler

Betrag im Zähler vergessen → negative Abstände
Normalenvektor nicht auf Länge 1 normiert (bei direkter Formel okay!)
d auf die falsche Seite gebracht: ax + by + cz = d, nicht ax + by + cz - d = 0

🎯 Tipp für die Prüfung

Die Abstandsformel mit HNF ist der schnellste Weg! Lerne sie auswendig und spare Zeit in der Prüfung.

Abstand Punkt – Ebene berechnen