Die Binomialverteilung ist die wichtigste diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung im Abitur. Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge bei einer festen Anzahl von unabhängigen Versuchen.
Wann liegt eine Binomialverteilung vor?
Eine Binomialverteilung liegt vor, wenn:
- Es gibt genau $n$ Versuche (Bernoulli-Kette)
- Jeder Versuch hat genau zwei Ausgänge (Erfolg/Misserfolg)
- Die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ ist bei jedem Versuch gleich
- Die Versuche sind unabhängig voneinander
Notation
$X \sim B(n; p)$ bedeutet: $X$ ist binomialverteilt mit $n$ Versuchen und Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.
Die Bernoulli-Formel
Der Binomialkoeffizient
Beispiel: Würfeln
Ein Würfel wird 5-mal geworfen. Wie wahrscheinlich ist es, genau 2-mal eine 6 zu würfeln?
$n = 5$, $k = 2$, $p = \frac{1}{6}$
$P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3$
$= 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216}$
$= \frac{1250}{7776} \approx 0{,}161$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 16,1%.
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten
Oft brauchst du nicht $P(X = k)$, sondern:
| Gesucht | Bedeutung | Berechnung |
|---|---|---|
| $P(X \leq k)$ | Höchstens $k$ Erfolge | binomcdf($n$, $p$, $k$) |
| $P(X < k)$ | Weniger als $k$ | binomcdf($n$, $p$, $k-1$) |
| $P(X \geq k)$ | Mindestens $k$ | $1 -$ binomcdf($n$, $p$, $k-1$) |
| $P(X > k)$ | Mehr als $k$ | $1 -$ binomcdf($n$, $p$, $k$) |
Erwartungswert und Standardabweichung
Beispiel: Erwartungswert
Bei 100 Würfen eines fairen Würfels: Wie viele Sechsen erwartest du?
$X \sim B\left(100; \frac{1}{6}\right)$
$E(X) = 100 \cdot \frac{1}{6} \approx 16{,}67$
Man erwartet etwa 16–17 Sechsen.
Taschenrechner-Befehle
Wichtige Funktionen
- binompdf($n$, $p$, $k$): $P(X = k)$ – genau $k$ Erfolge
- binomcdf($n$, $p$, $k$): $P(X \leq k)$ – höchstens $k$ Erfolge
Häufige Fehler
- „Mindestens" und „höchstens" verwechseln
- Vergessen, dass $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$
- Bei „mehr als" bzw. „weniger als" die Grenze falsch setzen
Tipp für die Prüfung
Lies genau: „mindestens 3" bedeutet $X \geq 3$, also auch 3, 4, 5, … „mehr als 3" bedeutet $X > 3$, also 4, 5, 6, …
Interaktiv: Binomialverteilung erkunden
Verschiebe die Regler für n und p, um zu sehen, wie sich die Verteilung verändert. Die gelbe Säule zeigt den Erwartungswert: