Die e-Funktion (natürliche Exponentialfunktion) ist eine der wichtigsten Funktionen in der Mathematik. Sie hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung gleich der Funktion selbst ist. Das macht sie im Abitur unverzichtbar.
Was ist die Eulersche Zahl e?
Die Eulersche Zahl e ist eine irrationale Zahl mit dem Wert:
Die besondere Eigenschaft
Die e-Funktion ist die einzige Funktion, die mit ihrer Ableitung identisch ist:
Ableitung von e-Funktionen
Bei zusammengesetzten e-Funktionen brauchst du die Kettenregel:
📝 Beispiele: e-Funktion ableiten
$f(x) = e^{2x} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2 \cdot e^{2x}$
$f(x) = e^{-x} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = -e^{-x}$
$f(x) = e^{x^2} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2x \cdot e^{x^2}$
$f(x) = x \cdot e^x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x)$
Integration von e-Funktionen
Wichtige Eigenschaften
- Definitionsbereich: $D = \mathbb{R}$
- Wertebereich: $W = \mathbb{R}^+$ (nur positive Werte)
- $e^x > 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$
- $e^0 = 1$
- Keine Nullstellen
- Streng monoton steigend
Grenzwertverhalten
Wachstums- und Zerfallsprozesse
Die e-Funktion modelliert viele natürliche Prozesse:
📝 Beispiel: Radioaktiver Zerfall
Eine Substanz zerfällt nach $f(t) = 100 \cdot e^{-0{,}1t}$. Wie viel ist nach 10 Stunden noch da?
$f(10) = 100 \cdot e^{-0{,}1 \cdot 10} = 100 \cdot e^{-1} \approx 100 \cdot 0{,}368 \approx 36{,}8$
Nach 10 Stunden sind noch ca. 36,8% vorhanden.
🎯 Tipp für die Prüfung
Merke dir: $e^x$ ist niemals null und niemals negativ! Das hilft dir bei Nullstellenberechnungen und Vorzeichenbetrachtungen.