Im Abitur musst du verschiedene Ebenenformen kennen und ineinander umwandeln können. Es gibt drei wichtige Darstellungsformen: Parameterform, Normalenform und Koordinatenform. In diesem Artikel lernst du alle Formen kennen und wie du sie umwandelst.
Übersicht der Ebenenformen
💡 Die drei Ebenenformen
- Parameterform: Beschreibt die Ebene durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren
- Normalenform: Beschreibt die Ebene durch einen Stützvektor und einen Normalenvektor
- Koordinatenform: Eine Gleichung der Form ax + by + cz = d
1. Die Parameterform
Die Parameterform beschreibt jeden Punkt der Ebene durch zwei Parameter s und t:
📝 Beispiel: Parameterform
Eine Ebene durch A(1, 0, 2), B(3, 1, 0), C(0, 2, 1)
Stützvektor: $\vec{p} = \overrightarrow{OA} = (1, 0, 2)$
Richtungsvektor 1: $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (2, 1, -2)$
Richtungsvektor 2: $\vec{v} = \overrightarrow{AC} = (-1, 2, -1)$
$E: \vec{x} = (1, 0, 2) + s \cdot (2, 1, -2) + t \cdot (-1, 2, -1)$
2. Die Normalenform
Die Normalenform nutzt einen Normalenvektor $\vec{n}$, der senkrecht zur Ebene steht:
Die Normalenform sagt aus: Alle Punkte $\vec{x}$ auf der Ebene bilden mit dem Stützpunkt $\vec{p}$ einen Vektor, der senkrecht zum Normalenvektor steht.
3. Die Koordinatenform
Die Koordinatenform ist die kompakteste Darstellung einer Ebene:
💡 Wichtig!
Die Koeffizienten a, b, c der Koordinatenform sind genau die Komponenten des Normalenvektors!
Umwandlungen zwischen den Formen
Parameterform → Normalenform
- Normalenvektor berechnen: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren)
- In Normalenform einsetzen: $(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$
📝 Beispiel: Parameterform → Normalenform
Gegeben: $E: \vec{x} = (1, 0, 2) + s \cdot (2, 1, -2) + t \cdot (-1, 2, -1)$
1. Kreuzprodukt berechnen:
$\vec{n} = (2, 1, -2) \times (-1, 2, -1)$
$\vec{n} = (1 \cdot (-1) - (-2) \cdot 2, \ (-2) \cdot (-1) - 2 \cdot (-1), \ 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1))$
$\vec{n} = (-1 + 4, \ 2 + 2, \ 4 + 1) = (3, 4, 5)$
2. Normalenform aufstellen:
$E: (\vec{x} - (1, 0, 2)) \cdot (3, 4, 5) = 0$
Normalenform → Koordinatenform
- Ausmultiplizieren: $(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$ auflösen
- Vereinfachen: Terme zusammenfassen zu $ax + by + cz = d$
📝 Beispiel: Normalenform → Koordinatenform
Gegeben: $E: (\vec{x} - (1, 0, 2)) \cdot (3, 4, 5) = 0$
$((x, y, z) - (1, 0, 2)) \cdot (3, 4, 5) = 0$
$(x - 1, y - 0, z - 2) \cdot (3, 4, 5) = 0$
$3(x - 1) + 4y + 5(z - 2) = 0$
$3x - 3 + 4y + 5z - 10 = 0$
$3x + 4y + 5z = 13$
$E: 3x + 4y + 5z = 13$
Koordinatenform → Normalenform
- Normalenvektor ablesen: $\vec{n} = (a, b, c)$
- Stützpunkt finden: Setze zwei Variablen = 0, berechne die dritte
📝 Beispiel: Koordinatenform → Normalenform
Gegeben: $E: 3x + 4y + 5z = 13$
1. Normalenvektor: $\vec{n} = (3, 4, 5)$
2. Stützpunkt finden (setze y = z = 0):
$3x = 13 \rightarrow x = \frac{13}{3}$
$\vec{p} = (\frac{13}{3}, 0, 0)$
$E: (\vec{x} - (\frac{13}{3}, 0, 0)) \cdot (3, 4, 5) = 0$
Koordinatenform → Parameterform
- Gleichung nach einer Variable auflösen (z.B. nach z)
- Die anderen Variablen als Parameter setzen (y = s, x = t)
- Stützvektor und Richtungsvektoren ablesen
📝 Beispiel: Koordinatenform → Parameterform
Gegeben: $E: 3x + 4y + 5z = 13$
1. Nach z auflösen:
$5z = 13 - 3x - 4y$
$z = \frac{13 - 3x - 4y}{5}$
2. Parameter einführen (x = s, y = t):
$x = s, \ y = t, \ z = \frac{13 - 3s - 4t}{5}$
3. Vektorform aufstellen:
$\vec{x} = (0, 0, \frac{13}{5}) + s \cdot (1, 0, -\frac{3}{5}) + t \cdot (0, 1, -\frac{4}{5})$
Übersicht: Alle Umwandlungen
| Von | Nach | Methode |
|---|---|---|
| Parameter | Normalen | Kreuzprodukt $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ |
| Normalen | Koordinaten | Ausmultiplizieren |
| Koordinaten | Normalen | $\vec{n} = (a, b, c)$, Stützpunkt suchen |
| Koordinaten | Parameter | Auflösen, Parameter einführen |
| Parameter | Koordinaten | Über Normalenform |
⚠️ Häufige Fehler
- Kreuzprodukt falsch berechnen (Reihenfolge der Terme beachten!)
- Vorzeichen beim Ausmultiplizieren vergessen
- Bei der Koordinatenform: Normalenvektor mit Stützvektor verwechseln
🎯 Tipp für die Prüfung
Die Koordinatenform ist am praktischsten für Abstandsberechnungen, die Parameterform für Schnittpunkte mit Geraden. Übe alle Umwandlungen, damit du flexibel bist!