Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) sind Textaufgaben, bei denen du eine Größe maximieren oder minimieren sollst. Sie gehören zu den anspruchsvollsten Aufgaben im Abitur, aber mit der richtigen Strategie sind sie gut lösbar.
Die Lösungsstrategie
- Skizze anfertigen und Variablen einführen
- Zielfunktion aufstellen: Was soll maximiert/minimiert werden?
- Nebenbedingung finden: Welche Einschränkung gibt es?
- Einsetzen: Zielfunktion auf eine Variable reduzieren
- Ableiten: Extremstellen der Zielfunktion finden
- Prüfen: Maximum oder Minimum? Randwerte?
- Antwort formulieren
Zielfunktion vs. Nebenbedingung
💡 Unterschied
- Zielfunktion: Das, was optimiert werden soll (maximaler Flächeninhalt, minimale Kosten, ...)
- Nebenbedingung: Die Einschränkung (feste Länge, begrenztes Budget, ...)
📝 Beispiel 1: Rechteck mit maximalem Flächeninhalt
Ein Rechteck soll mit 20 m Zaun eingezäunt werden. Welche Maße ergeben den maximalen Flächeninhalt?
1. Variablen: Länge = x, Breite = y
2. Zielfunktion: $A = x \cdot y$ (maximieren!)
3. Nebenbedingung: $2x + 2y = 20$, also $y = 10 - x$
4. Einsetzen: $A(x) = x \cdot (10 - x) = 10x - x^2$
5. Ableiten:
$$A'(x) = 10 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5$$
$$A''(x) = -2 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Maximum } \checkmark$$
6. Lösung: $x = 5$, $y = 10 - 5 = 5$
Das Rechteck ist ein Quadrat mit $5 \text{ m} \times 5 \text{ m} = 25 \text{ m}^2$ Fläche.
📝 Beispiel 2: Dose mit minimalem Materialverbrauch
Eine zylindrische Dose soll 1 Liter (= 1000 cm$^3$) fassen. Welche Maße minimieren die Oberfläche?
Variablen: Radius $= r$, Höhe $= h$
Zielfunktion: $O = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ (minimieren!)
Nebenbedingung: $V = \pi r^2 h = 1000 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{1000}{\pi r^2}$
Einsetzen:
$$O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{1000}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}$$
Ableiten:
$$O'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0$$
$$4\pi r^3 = 2000 \quad \Rightarrow \quad r^3 = \frac{500}{\pi} \quad \Rightarrow \quad r \approx 5{,}42 \text{ cm}$$
$$h = \frac{1000}{\pi \cdot 5{,}42^2} \approx 10{,}84 \text{ cm}$$
Optimale Maße: $r \approx 5{,}4$ cm, $h \approx 10{,}8$ cm
Typische Aufgabentypen
| Typ | Zielfunktion | Nebenbedingung |
|---|---|---|
| Rechteck einzäunen | Fläche $A = x \cdot y$ | Umfang $U = \text{const.}$ |
| Box/Schachtel | Volumen $V = x \cdot y \cdot z$ | Oberfläche $O = \text{const.}$ |
| Dose/Zylinder | Oberfläche $O$ | Volumen $V = \text{const.}$ |
| Gewinnmaximierung | Gewinn $G(x)$ | Preis-Absatz-Funktion |
Randwerte beachten!
⚠️ Wichtig
Prüfe immer auch die Randwerte des Definitionsbereichs! Manchmal liegt das Extremum am Rand und nicht bei $f'(x) = 0$.
Typische Einschränkungen: $x > 0$, $x < L$ (Länge), $0 < x < 10$, ...
🎯 Tipp für die Prüfung
- Lies den Text mehrfach und markiere wichtige Informationen
- Mache immer eine Skizze!
- Schreibe Zielfunktion und Nebenbedingung klar hin
- Vergiss den Antwortsatz nicht