Geraden im dreidimensionalen Raum sind ein zentrales Thema der analytischen Geometrie. Du lernst hier, wie du Geraden darstellst, ihre Lagebeziehungen untersuchst und Schnittpunkte berechnest.
Geradengleichung in Parameterform
Eine Gerade wird durch einen Stützvektor (Punkt auf der Geraden) und einen Richtungsvektor beschrieben:
📝 Beispiel: Gerade aufstellen
Stelle die Geradengleichung durch A(1, 2, 3) und B(4, 5, 6) auf.
Stützvektor: $\vec{p} = \overrightarrow{OA} = (1, 2, 3)$
Richtungsvektor: $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = B - A = (3, 3, 3)$
$g: \vec{x} = (1, 2, 3) + t \cdot (3, 3, 3)$
Punkt auf Gerade prüfen
Um zu prüfen, ob ein Punkt P auf einer Geraden liegt, setzt du die Koordinaten ein und prüfst, ob es ein passendes t gibt:
📝 Beispiel: Punktprobe
Liegt P(7, 8, 9) auf $g: \vec{x} = (1, 2, 3) + t \cdot (3, 3, 3)$?
(7, 8, 9) = (1, 2, 3) + t · (3, 3, 3)
7 = 1 + 3t → t = 2
8 = 2 + 3t → t = 2 ✓
9 = 3 + 3t → t = 2 ✓
Ja, P liegt auf g (für t = 2).
Lagebeziehungen zweier Geraden
Zwei Geraden im Raum können vier verschiedene Lagebeziehungen haben:
| Lagebeziehung | Beschreibung | Bedingung |
|---|---|---|
| Identisch | Gleiche Gerade | Alle Punkte gemeinsam |
| Parallel | Kein Schnittpunkt, gleiche Richtung | $\vec{u} \parallel \vec{v}$, kein gemeinsamer Punkt |
| Schneidend | Genau ein Schnittpunkt | LGS hat eindeutige Lösung |
| Windschief | Kein Schnittpunkt, nicht parallel | LGS hat keine Lösung |
Schnittpunkt berechnen
- Geraden gleichsetzen: $\vec{p}_1 + s \cdot \vec{u} = \vec{p}_2 + t \cdot \vec{v}$
- LGS aufstellen: 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten
- LGS lösen: s und t bestimmen
- Probe: Prüfen, ob alle 3 Gleichungen erfüllt sind
- Schnittpunkt: s in $g_1$ einsetzen
📝 Beispiel: Schnittpunkt
$g_1: \vec{x} = (1, 0, 2) + s \cdot (1, 1, 0)$
$g_2: \vec{x} = (3, 1, 2) + t \cdot (1, 0, 1)$
Gleichsetzen:
1 + s = 3 + t → s - t = 2 (I)
0 + s = 1 + 0 → s = 1 (II)
2 + 0 = 2 + t → t = 0 (III)
Aus (II): s = 1
In (I): 1 - t = 2 → t = -1
Probe in (III): 2 = 2 + (-1) = 1 ✗
Die Geraden sind windschief!
Winkel zwischen Geraden
Der Winkel zwischen zwei Geraden ist der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren:
⚠️ Wichtig: Windschief
Windschiefe Geraden gibt es nur im 3D-Raum! In der Ebene (2D) schneiden sich nicht-parallele Geraden immer.
🎯 Tipp für die Prüfung
Prüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren parallel sind (linear abhängig). Wenn ja, können die Geraden nur identisch oder parallel sein. Wenn nein, sind sie schneidend oder windschief.