Der Hypothesentest (auch Signifikanztest genannt) ist ein zentrales Thema der Stochastik im Abitur. Mit ihm kannst du statistisch überprüfen, ob eine Behauptung über eine Wahrscheinlichkeit stimmt. In diesem Artikel lernst du alles, was du für die Prüfung brauchst.
Was ist ein Hypothesentest?
Ein Hypothesentest ist ein statistisches Verfahren, um eine Vermutung (Hypothese) anhand von Stichprobendaten zu überprüfen. Du testest, ob die beobachteten Daten mit einer Annahme vereinbar sind – oder ob sie so unwahrscheinlich sind, dass du die Annahme ablehnen solltest.
💡 Typische Fragestellungen
- Ist eine Münze fair ($p = 0{,}5$)?
- Hat sich die Ausschussquote in einer Produktion verändert?
- Wirkt ein Medikament besser als ein Placebo?
Die Grundbegriffe
Nullhypothese $H_0$
Die Nullhypothese ist die Annahme, die du überprüfen willst. Sie beschreibt den "Normalzustand" oder die skeptische Position.
Alternativhypothese $H_1$
Die Alternativhypothese ist die Gegenposition zur Nullhypothese. Sie beschreibt, was gilt, wenn $H_0$ abgelehnt wird.
Signifikanzniveau $\alpha$
Das Signifikanzniveau $\alpha$ gibt die maximale Wahrscheinlichkeit an, mit der du $H_0$ fälschlicherweise ablehnst (Fehler 1. Art). Übliche Werte sind $\alpha = 0{,}05$ (5%) oder $\alpha = 0{,}01$ (1%).
Ablehnungsbereich (kritischer Bereich)
Der Ablehnungsbereich enthält alle Testergebnisse, bei denen $H_0$ abgelehnt wird. Er wird so bestimmt, dass die Wahrscheinlichkeit, bei Gültigkeit von $H_0$ in diesen Bereich zu fallen, höchstens $\alpha$ beträgt.
Arten von Hypothesentests
| Testart | Hypothesen | Ablehnungsbereich |
|---|---|---|
| Rechtsseitiger Test | $H_0: p \leq p_0$, $H_1: p > p_0$ | Rechts (große Werte) |
| Linksseitiger Test | $H_0: p \geq p_0$, $H_1: p < p_0$ | Links (kleine Werte) |
| Zweiseitiger Test | $H_0: p = p_0$, $H_1: p \neq p_0$ | Beidseitig |
Durchführung eines Hypothesentests
- Hypothesen aufstellen: Formuliere $H_0$ und $H_1$ passend zur Fragestellung
- Signifikanzniveau festlegen: Wähle $\alpha$ (oft vorgegeben, z.B. 5%)
- Testgröße bestimmen: Bei Binomialverteilung: Anzahl der Treffer $X$
- Ablehnungsbereich berechnen: Finde die kritischen Werte
- Entscheidung treffen: Liegt das Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich?
📝 Beispiel: Rechtsseitiger Test
Situation: Ein Hersteller behauptet, dass höchstens 10% seiner Produkte fehlerhaft sind. Bei einer Stichprobe von $n = 100$ Produkten findest du 18 fehlerhafte. Teste mit $\alpha = 5\%$.
1. Hypothesen:
$H_0: p \leq 0{,}10$ (Höchstens 10% fehlerhaft)
$H_1: p > 0{,}10$ (Mehr als 10% fehlerhaft)
2. Signifikanzniveau: $\alpha = 0{,}05$
3. Berechnung des Ablehnungsbereichs:
$X \sim B(100; 0{,}10)$
Gesucht: kleinstes $k$ mit $P(X \geq k) \leq 0{,}05$
Aus Tabelle oder Taschenrechner: $k = 16$
Ablehnungsbereich: $\{16, 17, 18, \ldots, 100\}$
4. Entscheidung:
Beobachteter Wert: $18 \in$ Ablehnungsbereich
→ $H_0$ wird abgelehnt.
Die Daten sprechen signifikant dafür, dass mehr als 10% der Produkte fehlerhaft sind.
Fehler beim Hypothesentest
Bei jedem Hypothesentest können zwei Arten von Fehlern auftreten:
| $H_0$ ist wahr | $H_1$ ist wahr | |
|---|---|---|
| $H_0$ ablehnen | Fehler 1. Art ($\alpha$) | Richtige Entscheidung |
| $H_0$ nicht ablehnen | Richtige Entscheidung | Fehler 2. Art ($\beta$) |
⚠️ Wichtig!
- "$H_0$ nicht ablehnen" bedeutet NICHT, dass $H_0$ bewiesen ist!
- Je kleiner $\alpha$, desto größer ist in der Regel $\beta$ (und umgekehrt)
- Die Wahl des Signifikanzniveaus hängt von den Konsequenzen der Fehler ab
Berechnung mit dem Taschenrechner
Für die Bestimmung des Ablehnungsbereichs brauchst du die kumulierte Binomialverteilung:
💡 Taschenrechner-Funktionen
- binomcdf($n$, $p$, $k$): $P(X \leq k)$ - kumulierte Wahrscheinlichkeit
- binompdf($n$, $p$, $k$): $P(X = k)$ - Einzelwahrscheinlichkeit
Für rechtsseitigen Test: Finde kleinstes $k$ mit binomcdf($n$, $p_0$, $k-1$) $\geq 1 - \alpha$
Für linksseitigen Test: Finde größtes $k$ mit binomcdf($n$, $p_0$, $k$) $\leq \alpha$
Stichprobenumfang bestimmen
Manchmal musst du berechnen, wie groß die Stichprobe sein muss, um einen bestimmten Fehler zu garantieren:
📝 Beispiel: Stichprobenumfang
Wie viele Würfe braucht man, um bei einem Test mit $\alpha = 5\%$ einen Würfel zu testen ($H_0: p = \frac{1}{6}$)?
Dies ist eine typische Optimierungsaufgabe. Du variierst $n$, bis der Ablehnungsbereich die gewünschten Eigenschaften hat.
Oft wird zusätzlich gefordert, dass der $\beta$-Fehler für ein bestimmtes alternatives $p$ klein genug ist.
Zusammenfassung
| Begriff | Bedeutung |
|---|---|
| $H_0$ (Nullhypothese) | Die zu testende Annahme |
| $H_1$ (Alternativhypothese) | Das Gegenteil von $H_0$ |
| $\alpha$ (Signifikanzniveau) | Max. Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art |
| Ablehnungsbereich | Werte, bei denen $H_0$ abgelehnt wird |
| Fehler 1. Art | $H_0$ ablehnen, obwohl wahr |
| Fehler 2. Art | $H_0$ nicht ablehnen, obwohl falsch |
🎯 Tipp für die Prüfung
Lies die Aufgabenstellung genau! Achte darauf, ob ein links-, rechts- oder zweiseitiger Test verlangt wird. Die Formulierung der Hypothesen bestimmt den gesamten Test!