Die Integralrechnung ist das Gegenstück zur Differentialrechnung. Mit Integralen berechnest du Flächen unter Kurven, Volumina und vieles mehr. In diesem Artikel lernst du die Grundlagen der Integralrechnung.
Was ist ein Integral?
Das Integral ist die Umkehrung der Ableitung. Wenn du eine Funktion $f(x)$ integrierst, erhältst du die Stammfunktion $F(x)$, deren Ableitung wieder $f(x)$ ergibt.
Unbestimmtes Integral
Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Da die Ableitung einer Konstanten 0 ist, unterscheiden sich Stammfunktionen nur um eine Konstante C.
Wichtige Integrationsregeln
Potenzregel
📝 Beispiele Potenzregel
$\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C$
$\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C$
$\int 1 \, dx = x + C$
$\int x^{-2} \, dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$
Wichtige Stammfunktionen
| $f(x)$ | $F(x)$ |
|---|---|
| $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln|x|$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x)$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x)$ |
Bestimmtes Integral
Das bestimmte Integral berechnet die Fläche zwischen Graph und x-Achse im Intervall [a, b]:
📝 Beispiel: Bestimmtes Integral
Berechne $\int_0^2 x^2 \, dx$
Stammfunktion: $F(x) = \frac{x^3}{3}$
$\int_0^2 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$
Fläche zwischen Kurve und x-Achse
Bei der Flächenberechnung musst du beachten: Flächen unterhalb der x-Achse werden negativ gerechnet!
⚠️ Wichtig bei Flächenberechnungen
Wenn der Graph die x-Achse schneidet, musst du die Teilflächen einzeln berechnen und die Beträge addieren:
$$A = \left|\int_a^c f(x) \, dx\right| + \left|\int_c^b f(x) \, dx\right|$$
🎯 Tipp für die Prüfung
Mache immer erst eine Skizze, um zu sehen, wo der Graph oberhalb und unterhalb der x-Achse liegt!