Die Kettenregel brauchst du, um verkettete Funktionen abzuleiten – also Funktionen, bei denen eine Funktion in einer anderen steckt. In diesem Artikel lernst du, wie du die Kettenregel sicher anwendest.
Was ist eine verkettete Funktion?
Eine verkettete Funktion hat die Form $f(g(x))$. Die äußere Funktion $f$ wird auf das Ergebnis der inneren Funktion $g$ angewendet.
📝 Beispiel: Verkettung erkennen
$f(x) = (2x + 1)^3$
Äußere Funktion: $( \ )^3$
Innere Funktion: $2x + 1$
Die Kettenregel
💡 Merkspruch
"Äußere Ableitung mal innere Ableitung"
Die äußere Funktion ableiten (innere Funktion bleibt stehen), dann mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.
Schritt-für-Schritt Anleitung
- Innere und äußere Funktion identifizieren
- Äußere Funktion ableiten (innere bleibt unverändert)
- Mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren
- Vereinfachen
📝 Beispiel 1: Potenz
$f(x) = (2x + 1)^3$
Äußere Funktion: $u^3$ → Ableitung: $3u^2$
Innere Funktion: $u = 2x + 1$ → Ableitung: $2$
$f'(x) = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = $ $6(2x + 1)^2$
📝 Beispiel 2: e-Funktion
$f(x) = e^{3x^2}$
Äußere Funktion: $e^u$ → Ableitung: $e^u$
Innere Funktion: $u = 3x^2$ → Ableitung: $6x$
$f'(x) = e^{3x^2} \cdot 6x = $ $6x \cdot e^{3x^2}$
📝 Beispiel 3: Wurzel
$f(x) = \sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{1/2}$
Äußere Funktion: $u^{1/2}$ → Ableitung: $\frac{1}{2}u^{-1/2}$
Innere Funktion: $u = x^2 + 1$ → Ableitung: $2x$
$f'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = $ $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$
📝 Beispiel 4: Sinus
$f(x) = \sin(2x)$
Äußere Funktion: $\sin(u)$ → Ableitung: $\cos(u)$
Innere Funktion: $u = 2x$ → Ableitung: $2$
$f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = $ $2\cos(2x)$
Häufige Anwendungen
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $(ax + b)^n$ | $n \cdot a \cdot (ax + b)^{n-1}$ |
| $e^{ax}$ | $a \cdot e^{ax}$ |
| $\ln(g(x))$ | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ |
| $\sin(ax)$ | $a \cdot \cos(ax)$ |
| $\cos(ax)$ | $-a \cdot \sin(ax)$ |
⚠️ Häufiger Fehler
Die innere Ableitung vergessen! Bei $f(x) = (2x)^3$ ist $f'(x) = 3(2x)^2 \cdot $ $2$ $ = 24x^2$, nicht $3(2x)^2 = 12x^2$.
🎯 Tipp für die Prüfung
Frage dich immer: "Steckt hier eine Funktion in einer anderen?" Wenn ja, brauchst du die Kettenregel!