Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt) erzeugt aus zwei Vektoren einen neuen Vektor, der senkrecht auf beiden steht. Das ist besonders wichtig für die Berechnung von Normalenvektoren.
Die Kreuzprodukt-Formel
💡 Merkregel (Sarrus-Schema)
Schreibe die Komponenten untereinander und berechne diagonal:
$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$
$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$
1. Komponente: $a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2$ (Zeile 2,3)
2. Komponente: $a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3$ (Zeile 3,1)
3. Komponente: $a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1$ (Zeile 1,2)
📝 Beispiel: Kreuzprodukt berechnen
$\vec{a} = (1, 2, 3)$ und $\vec{b} = (4, 5, 6)$
1. Komponente: $2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$
2. Komponente: $3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$
3. Komponente: $1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$
$\vec{a} \times \vec{b} = (-3, 6, -3)$
Wichtige Eigenschaften
- Senkrecht: $(\vec{a} \times \vec{b}) \perp \vec{a}$ und $(\vec{a} \times \vec{b}) \perp \vec{b}$
- Antikommutativ: $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$
- Parallele Vektoren: $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ wenn $\vec{a} \parallel \vec{b}$
- Betrag: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\varphi)$
Anwendung: Normalenvektor einer Ebene
Die wichtigste Anwendung ist die Berechnung des Normalenvektors einer Ebene aus ihren Richtungsvektoren:
📝 Beispiel: Normalenvektor berechnen
Ebene E: $\vec{x} = (1, 0, 0) + s \cdot (2, 1, 0) + t \cdot (0, 1, 1)$
Berechne den Normalenvektor.
$\vec{u} = (2, 1, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 1)$
$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$:
$n_1 = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 = 1$
$n_2 = 0 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = -2$
$n_3 = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 2$
$\vec{n} = (1, -2, 2)$
Anwendung: Flächeninhalt
Der Betrag des Kreuzprodukts entspricht dem Flächeninhalt des von a⃗ und b⃗ aufgespannten Parallelogramms:
📝 Beispiel: Flächeninhalt Dreieck
Dreieck ABC mit A(0,0,0), B(3,0,0), C(0,4,0). Berechne den Flächeninhalt.
$\overrightarrow{AB} = (3, 0, 0)$, $\overrightarrow{AC} = (0, 4, 0)$
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 4, 0 \cdot 0 - 3 \cdot 0, 3 \cdot 4 - 0 \cdot 0) = (0, 0, 12)$
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = 12$
Dreiecksfläche $= \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$
Der Flächeninhalt beträgt 6 FE.
Skalarprodukt vs. Kreuzprodukt
| Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b}$ | Kreuzprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ |
|---|---|
| Ergebnis: Zahl (Skalar) | Ergebnis: Vektor |
| Für Winkel & Orthogonalität | Für Normalenvektoren & Flächen |
| Kommutativ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ | Antikommutativ: $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ |
| $= 0$ wenn senkrecht | $= \vec{0}$ wenn parallel |
⚠️ Häufiger Fehler
Das Kreuzprodukt ist NICHT kommutativ! Die Reihenfolge ist wichtig: $\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}$
🎯 Tipp für die Prüfung
Prüfe dein Ergebnis: Der Normalenvektor muss auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen. Teste mit dem Skalarprodukt: $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ und $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$.