Die Kurvendiskussion ist eines der wichtigsten Themen im Mathe Abitur. Dabei untersuchst du eine Funktion auf ihre charakteristischen Eigenschaften wie Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte. In diesem Artikel lernst du alle Schritte der vollständigen Kurvendiskussion.
Was ist eine Kurvendiskussion?
Bei einer Kurvendiskussion analysierst du das Verhalten einer Funktion $f(x)$ vollständig. Du bestimmst alle wichtigen Punkte und Eigenschaften des Graphen, um ihn danach zeichnen oder interpretieren zu können.
💡 Die Schritte der Kurvendiskussion
- Definitionsbereich
- Symmetrie
- Nullstellen
- Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte)
- Wendepunkte
- Grenzwertverhalten (Asymptoten)
- Wertebereich
1. Definitionsbereich
Der Definitionsbereich gibt an, für welche x-Werte die Funktion definiert ist. Bei ganzrationalen Funktionen ist $D = \mathbb{R}$. Aufpassen musst du bei:
- Bruchfunktionen: Nenner darf nicht $0$ werden
- Wurzelfunktionen: Radikand muss $\geq 0$ sein
- Logarithmusfunktionen: Argument muss $> 0$ sein
2. Symmetrie
Eine Funktion kann achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sein.
3. Nullstellen berechnen
Nullstellen sind die Punkte, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Du setzt $f(x) = 0$ und löst nach $x$ auf.
📝 Beispiel: Nullstellen
Gegeben: $f(x) = x^3 - 4x$
$f(x) = 0$
$x^3 - 4x = 0$
$x(x^2 - 4) = 0$
$x(x - 2)(x + 2) = 0$
Nullstellen: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$
4. Extrempunkte bestimmen
Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte der Funktion. Du findest sie mit der ersten und zweiten Ableitung.
- Erste Ableitung bilden: Berechne $f'(x)$
- Nullstellen von $f'(x)$ finden: Setze $f'(x) = 0$ und löse nach $x$
- Art des Extremums prüfen: Berechne $f''(x)$ an den gefundenen Stellen
- y-Koordinate berechnen: Setze $x$ in $f(x)$ ein
📝 Beispiel: Extrempunkte
Gegeben: $f(x) = x^3 - 3x$
$f'(x) = 3x^2 - 3$
$f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
$f''(x) = 6x$
$f''(1) = 6 > 0 \Rightarrow$ Tiefpunkt bei $x = 1$
$f''(-1) = -6 < 0 \Rightarrow$ Hochpunkt bei $x = -1$
$f(1) = -2$, $f(-1) = 2$
Hochpunkt: $H(-1|2)$, Tiefpunkt: $T(1|-2)$
5. Wendepunkte berechnen
Wendepunkte sind die Punkte, an denen sich die Krümmung des Graphen ändert (von Links- zu Rechtskrümmung oder umgekehrt).
⚠️ Häufiger Fehler
Nicht jede Nullstelle von $f''(x)$ ist automatisch ein Wendepunkt! Du musst immer die hinreichende Bedingung prüfen (Vorzeichenwechsel von $f''(x)$ oder $f'''(x) \neq 0$).
6. Grenzwertverhalten
Das Grenzwertverhalten beschreibt, wie sich der Graph für $x \to \pm\infty$ verhält.
💡 Merkhilfe für ganzrationale Funktionen
Der höchste Exponent und sein Vorzeichen bestimmen das Verhalten:
- Gerader Grad, positiv: $\nearrow$ für $x \to \pm\infty$
- Gerader Grad, negativ: $\searrow$ für $x \to \pm\infty$
- Ungerader Grad, positiv: $\searrow$ für $x \to -\infty$, $\nearrow$ für $x \to +\infty$
- Ungerader Grad, negativ: $\nearrow$ für $x \to -\infty$, $\searrow$ für $x \to +\infty$
Zusammenfassung
| Eigenschaft | Bedingung |
|---|---|
| Nullstellen | $f(x) = 0$ |
| Extremstellen | $f'(x) = 0$ und $f''(x) \neq 0$ |
| Wendestellen | $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$ |
| Hochpunkt | $f'(x) = 0$ und $f''(x) < 0$ |
| Tiefpunkt | $f'(x) = 0$ und $f''(x) > 0$ |
🎯 Tipp für die Prüfung
Arbeite immer systematisch alle Schritte ab und vergiss nicht, die y-Koordinaten zu berechnen! Ein Punkt besteht immer aus x- UND y-Wert.