Die Länge eines Vektors, auch Betrag genannt, ist ein fundamentales Konzept in der analytischen Geometrie. Du brauchst sie für Abstandsberechnungen, Einheitsvektoren und vieles mehr. In diesem Artikel lernst du, wie du den Betrag eines Vektors berechnest.
Was ist der Betrag eines Vektors?
Der Betrag $|\vec{v}|$ eines Vektors gibt seine Länge an – also den Abstand vom Anfangspunkt zum Endpunkt. Die Berechnung basiert auf dem Satz des Pythagoras, erweitert auf mehrere Dimensionen.
💡 Schreibweisen für den Betrag
Der Betrag eines Vektors $\vec{v}$ wird geschrieben als:
- $|\vec{v}|$ (Betragsstriche)
- $\|\vec{v}\|$ (doppelte Striche)
- $|v|$ oder einfach $v$ (wenn klar ist, dass der Betrag gemeint ist)
Formel für den Vektorbetrag im 2D
Für einen Vektor $\vec{v} = (x, y)$ im zweidimensionalen Raum gilt:
📝 Beispiel 2D
Gegeben: $\vec{v} = (3, 4)$
$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2}$
$|\vec{v}| = \sqrt{9 + 16}$
$|\vec{v}| = \sqrt{25}$
$|\vec{v}| = 5$
Formel für den Vektorbetrag im 3D
Für einen Vektor $\vec{v} = (x, y, z)$ im dreidimensionalen Raum erweitert sich die Formel:
📝 Beispiel 3D
Gegeben: $\vec{v} = (2, -3, 6)$
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}$
$|\vec{v}| = \sqrt{4 + 9 + 36}$
$|\vec{v}| = \sqrt{49}$
$|\vec{v}| = 7$
Der Einheitsvektor
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit der Länge 1. Du erhältst ihn, indem du einen Vektor durch seinen Betrag teilst:
📝 Beispiel: Einheitsvektor
Berechne den Einheitsvektor zu $\vec{v} = (3, 4)$
1. Betrag berechnen: $|\vec{v}| = \sqrt{9 + 16} = 5$
2. Vektor durch Betrag teilen:
$\vec{v}_0 = (3, 4) / 5 = (3/5, 4/5) = (0{,}6; 0{,}8)$
Einheitsvektor: $\vec{v}_0 = (0{,}6; 0{,}8)$
Probe: $|\vec{v}_0| = \sqrt{0{,}36 + 0{,}64} = \sqrt{1} = 1$ ✓
Abstand zwischen zwei Punkten
Mit dem Vektorbetrag kannst du auch den Abstand zwischen zwei Punkten berechnen. Du bildest den Verbindungsvektor und berechnest seinen Betrag.
📝 Beispiel: Abstand
Berechne den Abstand zwischen $A(1, 2, 3)$ und $B(4, 6, 3)$
$\overrightarrow{AB} = B - A = (4-1, 6-2, 3-3) = (3, 4, 0)$
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$
Abstand: $d(A, B) = 5$
Wichtige Eigenschaften
- Der Betrag ist immer positiv: $|\vec{v}| \geq 0$
- Nullvektor: $|\vec{v}| = 0 \Leftrightarrow \vec{v} = \vec{0}$
- Skalarmultiplikation: $|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|$
- Dreiecksungleichung: $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$
⚠️ Häufige Fehler
- Vergessen, die Komponenten zu quadrieren
- Vorzeichen falsch behandeln (beim Quadrieren werden negative Zahlen positiv!)
- Wurzel vergessen
Zusammenfassung
| Dimension | Formel |
|---|---|
| 2D: $\vec{v} = (x, y)$ | $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ |
| 3D: $\vec{v} = (x, y, z)$ | $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ |
| Einheitsvektor | $\vec{v}_0 = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ |
| Abstand A-B | $d = |B - A|$ |
🎯 Tipp für die Prüfung
Der Vektorbetrag kommt in vielen Aufgaben vor – bei Abständen, Winkeln, Normalenvektoren und mehr. Übe die Formel, bis du sie im Schlaf kannst!