Lineare Gleichungssysteme lösen

Lineare Gleichungssysteme (LGS) begegnen dir überall im Abitur: Bei Schnittpunkten von Geraden und Ebenen, beim Bestimmen von Funktionen und bei vielen anderen Aufgaben. Hier lernst du, wie du sie systematisch löst.

Was ist ein LGS?

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 6 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ 3x + y - z = 4 \end{cases}$$

LGS mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten

Der Gauß-Algorithmus

Das systematischste Verfahren ist der Gauß-Algorithmus. Ziel ist es, das LGS in Stufenform (Dreiecksform) zu bringen.

Erlaubte Operationen

Zeilen vertauschen
Eine Zeile mit einer Zahl $\neq 0$ multiplizieren
Das Vielfache einer Zeile zu einer anderen addieren

📝 Beispiel: Gauß-Algorithmus

Löse das LGS:

$$\begin{align} x + y + z &= 6 & \text{(I)} \\ 2x + 3y + z &= 14 & \text{(II)} \\ x - y + 2z &= 2 & \text{(III)} \end{align}$$

Schritt 1: $x$ in (II) und (III) eliminieren

$(\text{II}) - 2 \cdot (\text{I})$: $y - z = 2$ (II')

$(\text{III}) - (\text{I})$: $-2y + z = -4$ (III')

Schritt 2: $y$ in (III') eliminieren

$(\text{III'}) + 2 \cdot (\text{II'})$: $-z = 0 \Rightarrow z = 0$

Schritt 3: Rückwärts einsetzen

In (II'): $y - 0 = 2 \Rightarrow y = 2$

In (I): $x + 2 + 0 = 6 \Rightarrow x = 4$

Lösung: $x = 4$, $y = 2$, $z = 0$

Lösungsmengen

Ein LGS kann verschiedene Lösungsmengen haben:

Situation	Lösungsmenge	Beispiel (Stufenform)
Eindeutige Lösung	Genau ein Punkt	Normale Stufenform
Unendlich viele Lösungen	Gerade oder Ebene	Nullzeile, konsistent
Keine Lösung	Leere Menge $\emptyset$	Widerspruch: $0 = 5$

📝 Beispiel: Unendlich viele Lösungen

Nach dem Gauß-Verfahren:

$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ y - z = 1 \\ 0 = 0 \end{cases}$$

Eine Gleichung fehlt $\Rightarrow$ $z$ ist frei wählbar (Parameter $t$)

$z = t$

$y = 1 + t$

$x = 3 - y - z = 3 - (1+t) - t = 2 - 2t$

Lösungsmenge: $\{(2-2t,\, 1+t,\, t) \mid t \in \mathbb{R}\}$

Das ist eine Gerade!

Matrix-Schreibweise

Für den Taschenrechner ist die Matrixdarstellung praktisch:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 & 9 \\ 3 & 1 & -1 & 4 \end{array}\right)$$

Erweiterte Koeffizientenmatrix

Anwendungen im Abitur

Schnittpunkt Gerade-Ebene: LGS aus den Gleichungen
Funktionsgleichung bestimmen: Punkte einsetzen → LGS
Lagebeziehungen: Schnitt, parallel oder identisch?

⚠️ Häufige Fehler

Vorzeichenfehler beim Subtrahieren von Zeilen
Vergessen, die rechte Seite mitzurechnen
Bei $0 = 0$ denken, es gäbe keine Lösung (falsch! $\Rightarrow$ unendlich viele)

🎯 Tipp für die Prüfung

Mache nach dem Lösen immer die Probe! Setze die gefundenen Werte in ALLE ursprünglichen Gleichungen ein.