Die Produktregel brauchst du, wenn du ein Produkt aus zwei Funktionen ableiten musst. Achtung: Du kannst nicht einfach beide Faktoren einzeln ableiten und multiplizieren!
Wann brauche ich die Produktregel?
Immer wenn du eine Funktion der Form $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ ableiten musst, wobei beide Faktoren von $x$ abhängen.
📝 Beispiele für Produkte
$f(x) = x^2 \cdot \sin(x)$ ✓ Produktregel nötig
$f(x) = x \cdot e^x$ ✓ Produktregel nötig
$f(x) = 3x^2 \cdot 5$ ✗ Keine Produktregel (5 ist konstant)
Die Produktregel
💡 Merkspruch
"Ableitung des Ersten mal Zweites plus Erstes mal Ableitung des Zweiten"
Schritt-für-Schritt Anleitung
- Identifiziere $u(x)$ und $v(x)$
- Berechne $u'(x)$ und $v'(x)$
- Setze in die Formel ein: $u' \cdot v + u \cdot v'$
- Vereinfache das Ergebnis
📝 Beispiel 1
$f(x) = x^2 \cdot \sin(x)$
$u = x^2 \rightarrow u' = 2x$
$v = \sin(x) \rightarrow v' = \cos(x)$
$f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)$
$f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)$
📝 Beispiel 2
$f(x) = x \cdot e^x$
$u = x \rightarrow u' = 1$
$v = e^x \rightarrow v' = e^x$
$f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x$
$f'(x) = e^x(1 + x)$
📝 Beispiel 3
$f(x) = (2x + 1) \cdot (x^2 - 3)$
$u = 2x + 1 \rightarrow u' = 2$
$v = x^2 - 3 \rightarrow v' = 2x$
$f'(x) = 2 \cdot (x^2 - 3) + (2x + 1) \cdot 2x$
$f'(x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x$
$f'(x) = 6x^2 + 2x - 6$
Produktregel mit Kettenregel
Oft musst du Produkt- und Kettenregel kombinieren:
📝 Beispiel: Kombination
$f(x) = x^2 \cdot e^{2x}$
$u = x^2 \rightarrow u' = 2x$
$v = e^{2x} \rightarrow v' = 2 \cdot e^{2x}$ (Kettenregel!)
$f'(x) = 2x \cdot e^{2x} + x^2 \cdot 2 \cdot e^{2x}$
$f'(x) = 2x \cdot e^{2x} + 2x^2 \cdot e^{2x}$
$f'(x) = 2x \cdot e^{2x} \cdot (1 + x)$
⚠️ Häufiger Fehler
FALSCH: $(u \cdot v)' = u' \cdot v'$
RICHTIG: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
🎯 Tipp für die Prüfung
Nach dem Ableiten immer ausklammern, wenn möglich! Das macht das Ergebnis übersichtlicher und vereinfacht weitere Rechnungen.