Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine fundamentale Operation mit Vektoren. Es liefert eine Zahl (Skalar) und wird für Winkelberechnungen und Orthogonalitätsprüfungen benötigt.
Definition des Skalarprodukts
Für zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der entsprechenden Komponenten:
📝 Beispiel: Skalarprodukt berechnen
$\vec{a} = (2, 3, -1)$ und $\vec{b} = (4, -2, 5)$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-1) \cdot 5$
$= 8 - 6 - 5$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$
Orthogonalität (Rechtwinkligkeit)
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist:
📝 Beispiel: Orthogonalität prüfen
Sind $\vec{a} = (1, 2, 1)$ und $\vec{b} = (2, -1, 0)$ orthogonal?
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0$
$= 2 - 2 + 0 = 0$
Ja, die Vektoren sind orthogonal!
Winkel zwischen Vektoren
Mit dem Skalarprodukt kannst du den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen:
📝 Beispiel: Winkel berechnen
Berechne den Winkel zwischen $\vec{a} = (1, 0, 0)$ und $\vec{b} = (1, 1, 0)$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
$\cos(\varphi) = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707$
$\varphi = \arccos(0{,}707) = 45°$
Der Winkel beträgt 45°.
Wichtige Eigenschaften
- Kommutativgesetz: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
- Distributivgesetz: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
- Skalare Multiplikation: $(r \cdot \vec{a}) \cdot \vec{b} = r \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b})$
- Betrag: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$
Anwendungen
| Anwendung | Verwendung |
|---|---|
| Winkel zwischen Geraden | Skalarprodukt der Richtungsvektoren |
| Winkel zwischen Ebenen | Skalarprodukt der Normalenvektoren |
| Orthogonalität prüfen | Skalarprodukt = 0? |
| Normalenvektor finden | Suche Vektor mit Skalarprodukt = 0 |
⚠️ Häufiger Fehler
Das Skalarprodukt ist KEIN Vektor, sondern eine Zahl! Verwechsle es nicht mit dem Kreuzprodukt, das einen Vektor liefert.
🎯 Tipp für die Prüfung
Merke: Wenn das Skalarprodukt positiv ist, ist der Winkel spitz (< 90°). Wenn es negativ ist, ist der Winkel stumpf (> 90°).