Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Basis für alle Stochastik-Themen im Abitur. Hier lernst du die wichtigsten Grundbegriffe und Rechenregeln.
Grundbegriffe
- Zufallsexperiment: Vorgang mit zufälligem Ausgang (Würfeln, Münzwurf, ...)
- Ergebnis $\omega$: Ein möglicher Ausgang
- Ergebnismenge $\Omega$: Menge aller möglichen Ergebnisse
- Ereignis $A$: Teilmenge von $\Omega$ (z.B. "gerade Zahl")
- Wahrscheinlichkeit $P(A)$: Zahl zwischen 0 und 1
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Bei Laplace-Experimenten sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich:
📝 Beispiel: Würfel
Wie wahrscheinlich ist eine gerade Zahl beim Würfeln?
$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ → $|\Omega| = 6$
$A = \{2, 4, 6\}$ → $|A| = 3$
$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\%$
Rechenregeln
Komplementärregel
Additionssatz
💡 Spezialfall: Disjunkte Ereignisse
Wenn $A$ und $B$ sich ausschließen ($A \cap B = \emptyset$):
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung, dass $B$ bereits eingetreten ist:
📝 Beispiel: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Von 100 Schülern spielen 40 Fußball ($F$) und 30 Basketball ($B$). 15 spielen beides. Wie wahrscheinlich spielt ein Fußballer auch Basketball?
$P(B|F) = \frac{P(B \cap F)}{P(F)} = \frac{15/100}{40/100} = \frac{15}{40} = 37{,}5\%$
Stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen keinen Einfluss auf das andere hat:
Baumdiagramme
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten helfen Baumdiagramme:
💡 Pfadregeln
- 1. Pfadregel (Multiplikation): Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert
- 2. Pfadregel (Addition): Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade zum gleichen Ereignis werden addiert
📝 Beispiel: Urne
Eine Urne enthält 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. $P(2\times \text{rot})$?
1. Zug rot: $\frac{3}{5}$
2. Zug rot (nach 1× rot): $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(2\times \text{rot}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10} = 30\%$
Wichtige Formeln Übersicht
| Regel | Formel |
|---|---|
| Laplace | $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ |
| Komplement | $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ |
| Addition | $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ |
| Bedingt | $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ |
| Unabhängig | $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ |
🎯 Tipp für die Prüfung
Bei komplexen Aufgaben: Zeichne immer ein Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel! Das hilft, den Überblick zu behalten.