Die Normalverteilung (auch Gauß-Verteilung genannt) ist die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Mathematik. Sie spielt im Mathe Abitur eine zentrale Rolle, besonders als Näherung für die Binomialverteilung und bei Hypothesentests. In diesem Artikel lernst du alles Wichtige über die Normalverteilung.
Was ist die Normalverteilung?
Die Normalverteilung beschreibt eine symmetrische, glockenförmige Verteilung, die durch zwei Parameter bestimmt wird:
- Erwartungswert $\mu$ (mu) – gibt das Zentrum der Verteilung an
- Standardabweichung $\sigma$ (sigma) – gibt die Breite/Streuung an
Eigenschaften der Normalverteilung
- Die Kurve ist symmetrisch um $\mu$
- Die Fläche unter der Kurve ist immer gleich 1
- Maximum bei $x = \mu$
- Wendestellen bei $x = \mu \pm \sigma$
- Je größer $\sigma$, desto breiter und flacher die Glocke
Die Standardnormalverteilung
Die Standardnormalverteilung ist ein Spezialfall mit $\mu = 0$ und $\sigma = 1$. Sie wird mit $Z \sim N(0; 1)$ bezeichnet und ihre Verteilungsfunktion mit $\Phi(z)$.
Beispiel: Standardisierung
Gegeben: $X \sim N(100; 15^2)$. Berechne $P(X \leq 115)$.
$z = \frac{115 - 100}{15} = \frac{15}{15} = 1$
$P(X \leq 115) = \Phi(1) \approx 0{,}8413$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 84,13%.
Die Sigma-Regeln
Die Sigma-Regeln (auch 68-95-99,7-Regel) sind die wichtigsten Faustregeln für die Normalverteilung:
| Intervall | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| $\mu \pm 1\sigma$ | 68,27% |
| $\mu \pm 1{,}64\sigma$ | 90% |
| $\mu \pm 1{,}96\sigma$ | 95% |
| $\mu \pm 2\sigma$ | 95,45% |
| $\mu \pm 2{,}58\sigma$ | 99% |
| $\mu \pm 3\sigma$ | 99,73% |
Wichtig fürs Abitur
Die Sigma-Regeln werden häufig bei Hypothesentests verwendet. Besonders die 90%- und 95%-Grenzen ($1{,}64\sigma$ und $1{,}96\sigma$) tauchen regelmäßig in Aufgaben auf.
Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung
Für große $n$ kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung angenähert werden. Diese Näherung ist nach Laplace benannt:
Bei der Näherung gilt:
- $\mu = n \cdot p$ (Erwartungswert der Binomialverteilung)
- $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ (Standardabweichung)
Beispiel: Normalverteilungsnäherung
Eine Münze wird 400-mal geworfen ($n = 400$, $p = 0{,}5$). Wie wahrscheinlich ist es, zwischen 190 und 210 Mal Kopf zu erhalten?
$\mu = 400 \cdot 0{,}5 = 200$
$\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{100} = 10$
Laplace-Bedingung: $\sigma = 10 > 3$ ✓
$P(190 \leq X \leq 210) = \Phi\left(\frac{210 - 200}{10}\right) - \Phi\left(\frac{190 - 200}{10}\right)$
$= \Phi(1) - \Phi(-1)$
$= 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6827$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 68,27%.
(Das entspricht genau der $1\sigma$-Regel!)
Wichtige Werte der Standardnormalverteilung
Diese Werte solltest du für die Prüfung kennen:
| $z$ | $\Phi(z)$ | Bedeutung |
|---|---|---|
| $0$ | $0{,}5000$ | 50%-Quantil (Median) |
| $1$ | $0{,}8413$ | |
| $1{,}28$ | $0{,}9000$ | 90%-Quantil |
| $1{,}64$ | $0{,}9500$ | 95%-Quantil |
| $1{,}96$ | $0{,}9750$ | 97,5%-Quantil |
| $2$ | $0{,}9772$ | |
| $2{,}33$ | $0{,}9900$ | 99%-Quantil |
| $2{,}58$ | $0{,}9950$ | 99,5%-Quantil |
| $3$ | $0{,}9987$ |
Symmetrie nutzen
Wegen der Symmetrie gilt: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$. Du brauchst also nur die positiven z-Werte!
Zusammenfassung
| Konzept | Formel / Regel |
|---|---|
| Normalverteilung | $X \sim N(\mu; \sigma^2)$ |
| Standardnormalverteilung | $Z \sim N(0; 1)$ |
| z-Transformation | $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ |
| $1\sigma$-Intervall | $\approx 68{,}3\%$ |
| $2\sigma$-Intervall | $\approx 95{,}4\%$ |
| $3\sigma$-Intervall | $\approx 99{,}7\%$ |
| Laplace-Bedingung | $\sigma > 3$ |